三重積分的定義

　　如果當各小閉區域的直徑中的最大值趨于零時這和的極限總存在，則稱此極限為函數f(x y z)在閉區域上的三重積分。

　　體積元素

　　設三元函數z=f(x,y,z)定義在有界閉區域Ω上，將區域Ω任意分成n個子域Δvi(i=1,2,3，…，n)，并以Δvi表示第i個子域的體積.在Δvi上任取一點(ξi，ηi，ζi)，作和(n/i=1 Σ(ξi，ηi，ζi)Δvi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨于零時，此和式的極限存在，則稱此極限為函數f(x,y,z)在區域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，即

　　∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 (n/i=1 Σf(ξi，ηi，ζi)Δvi)，其中dv叫做體積元素。

　　性質：

　　性質1

　　線性性質：

　　設α、β為常數，則 ∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv+β∫∫∫g(x,y,z)]dv。

　　性質2

　　如果空間閉區域G被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在G上的三重積分等于各部分閉區域上三重積分的和。

　　性質3

　　如果在G上，且 f(x,y,z)ㄔ1，v為G的體積，則 vㄔ∫∫∫1dvㄔ∫∫∫dv.

　　性質4

　　如果在G上，f(x,y,z)≤φ(x,y,z)，則有 ，∫∫∫f(x,y,z)dv≤∫∫∫φ(x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dvㄏ≤∫∫∫f(x,y,z)dv.

　　性質5

　　設M、m分別為f(x,y,z)在閉區域G上的最大值和最小值，v為G的體積，則有 mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.

　　性質6

　　設函數f(x,y,z)在閉區域G上連續，v是G的面積，則在G上至少存在一個點(ζ，η，μ)使得

　　∫∫∫f(x,y,z)dvㄔf(ζ，η，μ)v

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