設二元函數z=f(x,y)定義在有界閉區域D上,將區域D任意分成n個子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i個子域的面積.在Δδi上任取一點(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨于零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函數f(x,y)在區域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即

　　∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ (Σf(ξi,ηi)Δδi)

　　這時,稱f(x,y)在D上可積,其中f(x,y)稱被積函數,f(x,y)dδ稱為被積表達式,dδ稱為面積元素, D稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.

　　同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。

　　性質1 (積分可加性) 函數和(差)的二重積分等于各函數二重積分的和(差)，即

　　∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ

　　性質2 (積分滿足數成) 被積函數的常系數因子可以提到積分號外，即

　　∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數)

　　性質

　　性質1與性質2合稱為積分的線性性。

　　性質3 如果在區域D上有f(x,y)ㄑg(x,y),則∫∫f(x,y)dσㄑ∫∫g(x,y)dσ

　　推論 ㄏ∫∫f(x,y)dσㄏㄑ∫∫ㄏg(x,y)ㄏdσ

　　性質4 設M和m分別是函數f(x,y)在有界閉區間D上的最大值和最小值，σ為區域D的面積，

　　則mσㄑ∫∫f(x,y)dσㄑMσ

　　性質5 如果在有界閉區域D上f(x,y)=1, σ為D的面積，則Sσ=∫∫dσ

　　性質6 二重積分中值定理

　　設函數f(x,y)在有界閉區間D上連續，σ為區域的面積，則在D上至少存在一點(ξ，η)，使得

　　∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η)●σ

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