微分中值定理

　　在微積分學的理論證明中，中值定理具有根本的重要性，它有許多不同的形式。

　　羅爾定理

　　1690年法國數學家M.羅爾首先發現，在閉區間上連續，區間內可微，在區間端點取等值的函數，其圖形上至少存在一點，圖形在該點的切線是“水平”的(圖3)。與這個結論等價的是拉格朗日定理。

　　拉格朗日定理

　　如果函數ƒ(x)在閉區間【α,b)】上連續，在開區間(α,b)內可微,則在這個區間內至少存在一點ξ，使得 。

　　直觀上說，就是在函數圖形上至少存在一點，在該點處的切線與圖形兩端點的連線平行(圖4)。不過定理本身并沒有給出點ξ的確切位置,而且滿足條件的ξ點也可能不只一個。如果設想

　　ƒ(t)表示一質點在時刻t所行的路程，那么就表示質點在時間間隔(α,b)中的平均速度,而ƒ┡(t)表示質點在時刻 t的瞬時速度的數值。定理的意義則在于斷定至少存在一個時刻t=ξ,在這個時刻的瞬時速度的數值，恰等于平均速度的數值。

　　形式上作些變化后，得到公式 式中0<θ<1,這個公式被稱為拉格朗日有限增量公式。另一種較一般的形式稱為柯西中值定理。

　　柯西中值定理

　　若函數ƒ(x)與g(x)在閉區間【α,b】上連續，在開區間(α,b)內可微,則在這個區間內至少存在一點ξ，使得 當g(x)=x時，上面定理與拉格朗日定理有同一形式，所以柯西中值定理是拉格朗日定理的最一般的形式。

　　洛必達法則 法國數學家 G.-F.-A de洛必達于1696年在他的名著《無窮小分析》中，給出了一種確定未定式值的方法：如果函數ƒ(x)與g(x)在區間(α,b)內可微，g┡(x)≠0，又如果極限過程x→α+0也可以換成別的極限過程(x→b)-0,x→с,x→∞)。由于所考慮的比ƒ(x)/g(x)在極限過程中形式上趨于或,不能一般地定值,所以稱為未定式。通過洛必達法則可以由ƒ┡(x)/g┡(x)的極限來確定ƒ(x)/g(x)的極限。應當注意的是，如果ƒ┡(x)/g┡(x)的極限不存在,并不能肯定ƒ(x)/g(x)的極限也不存在。此外還有0?∞，∞-∞，00，1∞及∞0幾種類型的未定式,但它們都可以先經過適當代數變換化歸型或型,然后用洛必達法則定值。 泰勒公式 多項式是最簡單的一類初等函數。由于它本身的運算僅是有限次加減法和乘法，所以在數值計算方面，多項式是人們樂于使用的工具。對于一個任意給定的函數ƒ(x),總希望能找到一個n次多項式p(x),它至少在局部上與ƒ(x)相當接近，因而在數值計算上能代替ƒ(x)。 如果函數ƒ(x)在某點x=x0附近本來就是一個多項式 逐次微分便給出 當n 式中 稱為函數ƒ(x)在點x=x0處的n次泰勒多項式。對一般函數ƒ(x),前面的估計式也可以成立，只要ƒ(x)在點x=x0處n次可微。因為這時只要寫出恒等式并重復使用洛必達法則便可以得到 故仍然有 這里余項的估計式 稱為余項的皮亞諾形式。此外常用的還有余項的拉格朗日形式 式中ξ 位于x0與x之間的某一點。也有余項的柯西形式 。

　　當然這里都假定ƒ(n+1)(x)在x到x0之間處處存在。如果ƒ(n+1)(x)在x與x0之間處處連續，則有余項的積分形式 通常，稱原點x0=0處的泰勒公式為馬克勞林公式，即 或 式中ξ介于0到x之間。

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