導數作為變化量之比的極限，不僅是變量變化的一種數量表現，而且還能通過函數關系進行運算。

　　線性主要部分 導數的存在表明切線的存在。假如函數y=ƒ(x)在點x處有導數ƒ┡(x)存在，則函數曲線在相應點p(x,y)處有斜率為ƒ┡(x)的惟一確定的切線存在。它在切點p附近與曲線密合,并且在相當靠近切點的地方，密合得難以區分(圖2)。這在分析上意味著在點x的小鄰域內，函數值y=ƒ(x)是可以用切線上相應點的縱坐標值來近似的。而且在 x充分小的鄰域內，近似誤差R與Δx=x1-x相比是微不足道的。事實上 由于ƒ┡(x)存在，就有 這樣，函數的改變量Δy就被分解成了兩部分之和，其中第一項線性地依賴于Δx,而它與Δy相差是關于Δx的高階無窮小量。換言之,當Δx很小時,舍棄這個微不足道的誤差，剩下的部分ƒ┡(x)Δx就可以作為Δy的近似值了。這一項被稱為Δy的線性主要部分。

　　微分的概念

　　自變量x的變化量Δx與x是無關的,稱為自變量的微分,記為dx;而因變量相應的變化量Δy的線性主要部分 則稱為函數y=ƒ(x)在點x處相應于自變量的變化量Δx的微分。

　　抽象看來，微分有兩個特性，其一是dy是dx的齊次線性函數,其二是dy與Δy之差是關于Δx的高階無窮小量。這兩個特性完全決定了微分本身：如果有一個Δx的齊次線性函數為AΔx，

　　同時具有第二種特性，則可以斷定A=ƒ┡(x),亦即線性函數AΔx就必定是函數的微分。所以對一元函數說來，導數的存在性與微分的存在性是等價的。

　　微分的概念從萌發到完整，其嚴格化經歷了幾個世紀。即使在微積分蓬勃發展的牛頓-萊布尼茨-歐拉時代，數學家們盡管能用微分進行近似計算，布列并求解微分方程，但由于無窮小量的概念尚未精確化，微分的概念并不明晰;直至19世紀，數學的嚴格性發展到了新的高度，微分的概念才被確切地理解。

　　一階微分形式不變性 對復合函數 如果ƒ(u)和φ(x)都是可微函數，則在x為自變量時這說明，dy的表達式不論對自變量x還是對中間變量u其形式是不變的。也就是說可以不必區分變量u是自變量或因變量，函數y=ƒ(u)的微分永遠具有一個共同的形式： 這就是一階微分形式不變性，這使得有時利用微分進行計算比運用導數要簡單。

　　由于一階微分是自變量改變量的線性函數，在求函數的變化量時用微分作近似計算很簡便。例如 在x=2與Δx=0.01時, ，

　　而這里dy與Δy相同至三位小數,而計算dy要比計算Δy容易得多。

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