定積分

　　眾所周知，微積分的兩大部分是微分與積分。微分實際上是求一函數的導數，而積分是已知一函數的導數，求這一函數。所以，微分與積分互為逆運算。

　　實際上，積分還可以分為兩部分。第一種，是單純的積分，也就是已知導數求原函數，而若F(x)的導數是f(x)，那么F(x)+C(C是常數)的導數也是f(x)，也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為F(x)+C的導數也是f(x)，C是無窮無盡的常數，所以f(x)積分的結果有無數個，是不確定的，我們一律用F(x)+C代替，這就稱為不定積分。

　　而相對于不定積分，就是定積分。

　　所謂定積分，其形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面，下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數，而不是一個函數。

　　定積分的正式名稱是黎曼積分，詳見黎曼積分。用自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數的圖象用平行于y軸的直線和x軸把其分割成無數個矩形，然后把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a、b。

　　我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢?

　　定積分與積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：

　　若F'(x)=f(x)

　　那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)

　　但是這里x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變量，但定積分中被積函數的自變量取一個定值是沒意義的。雖然這種寫法是可以的，但習慣上常把被積函數的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：

　　Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt

　　牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數的值與下限在原函數的值的差。

　　正這個理論揭示了積分與黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學乃至整個高等數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

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