2010注冊結(jié)構(gòu)工程師備考：例題(16)
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(三)例題
[例4-3-19] 圖4-3-54所示的懸臂梁，在自由端上掛一彈簧，彈簧上懸掛一重P的 物體。設(shè)在力P作用下彈簧的靜伸長為δst，梁的自由端的靜撓度為fst。如給重物一初速度v0，試求重物的自由振動方程。梁和彈簧的質(zhì)量均忽略不計。
[解] 懸臂梁對物體的作用相當于一彈簧，根據(jù)懸臂梁端點的靜撓度fst可算出此梁 在端點沿鉛垂方向的剛性系數(shù)為
類似地，可算出懸掛彈簧的剛性系數(shù)為
于是，圖4—3—54(a)所示振動系統(tǒng)可以抽象為圖4—3—54(b)所示的串聯(lián)彈簧系統(tǒng)。又因串聯(lián)彈簧可用一等效彈簧來替代，其當量剛性系數(shù)為
最終該系統(tǒng)可簡化為圖4—3—54(c)所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。現(xiàn)以此力學(xué)模型進行求解。
(1)對象。取重物為研究對象。
(2)運動分析：重物由于初始干擾，沿鉛垂方向作自由振動。為了簡便，選取重物的靜平衡位置O為坐標原點，x軸向下為正。t=0時x0=0， 。
(3)受力分析。通常，將重物放在x軸正向的任一位置上進行受力分析。作用其上的力有重力P和彈性力F，力F在x軸上的投影為
(4)列運動微分方程，并求解振動規(guī)律。由F=ma得
因重物處于靜平衡位置時，重力P與靜變形引起的彈性力F0平衡，即有
故上式可簡化為
即
式中
由表4—3—11所示的公式，可知式(3)的通解為
根據(jù)初始條件x0=0， ，可分別求得振幅A及初位相α為
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