6.4 偏心受壓長柱的二階彎矩

6.4.1 偏心受壓構件縱向彎曲引起的二階彎矩

縱向彎曲引起的二階彎矩隨著構件兩端彎矩的不同而不同，可分為三種情況：

1.構件兩端作用有相等的端彎矩情況(M0= Nei)

圖 6-17 兩端彎矩相等時的二階彎矩

(1) 構件上任一點的彎矩 M

M = M0 + Ny = Nei + Ny

式中 Nei —— 一階彎矩;

Ny —— 由縱向彎曲引起的二階彎矩。

(2) 構件上的最大撓度或最大彎矩 Mmax

最大撓度或最大彎矩均發生在柱的中點。令 f 為最大彎矩 Mmax 點的撓度，則有

Mmax = Nei + N f

顯然，N f是偏心受壓構件上由縱向彎曲引起的最大的二階彎矩(以下簡稱二 階彎矩)

(3) 臨界截面(或稱最危險截面)

承受 N 和 Mmax 作用的截面。設計時取臨界截面上的內力為內力控制值。

(4) 特點

一階彎矩最大處與二階彎矩最大處相重合，一階彎矩增加的最多，即臨界截面上的彎矩最大。

2.兩個端彎矩不相等但符號相同的情況 (M2> M1)

圖 6-18 兩端彎矩不等時的二階彎矩

(1) 構件上的最大撓度或最大彎矩 Mmax

最大撓度或最大彎矩均發生在離端部的某一距離處。

Mmax = M0 + N f

(2) 特點

一階彎矩最大處與二階彎矩最大處不重合，由于 M0 < M2，所以臨界截面上的彎矩Mmax要比兩端彎矩相等時的小，即二階彎矩對桿件的影響有所降低?？梢宰C明，隨著 M2 和 M1 相差越大，桿件中臨界截面上的彎矩Mmax 越小，即二階彎矩對桿件的影響越小。

3.兩端彎矩不相等而符號相反的情況(M2= Ne0 , M1= -Ne1) 圖6—19

圖 6-19 兩端彎矩不相等而符號相反時的二階彎矩

(1) 構件上的最大撓度或最大彎矩 Mmax

最大撓度在離端部的某一距離處;而最大彎矩Mmax = M0 + N f有兩種可能的分布：

1)發生在柱端

Mmax = M2

即二階彎矩的存在并不引起一階彎矩的任何增加。

2)發生在離端部的某一距離處

Mmax = M0 + N f

由于 M0 < M2較多，所以一階彎矩將增加很少，Mmax 比M2 稍大。

(2) 特點

沿構件產生一個反彎點，一階彎矩最大處與二階彎矩最大處不重合，一階彎矩將增加很少或可能不增加。

6.4.2 結構有側移時偏心受壓構件的二階彎矩

上述二階彎矩分布的規律，僅適用于沒有水平側移或水平側移可忽略不計的結構中的偏心受壓構件，即指偏心受壓構件的兩端沒有發生相對位移的情況。當結構有側移且同一樓層所有柱的側移相等(詳見下冊第14章)時，由于結構的側移使偏心受壓構件的撓曲線發生了變化，其二階彎矩分布規律也發生了變化。

現以結構力學中的簡單剛架為例進行說明，如圖6-20(a)所示。該剛架承受水平荷載F和壓力N。在沒有壓力N作用時由F單獨引起的側移和一階彎矩如圖6-20(a)、(b)所示，相應的框架變形用虛線給出;當N作用時，產生了側移和桿件變形增大，其變形用實線表示，框架的總側移△和二階彎矩如圖6-20(a)、(c)所示，此時二階彎矩為結構側移和桿件變形所產生的附加彎矩的總和?？梢钥闯?，最大的一階彎矩和二階彎矩均在柱端且符號相同，此時臨界截面上的彎矩為一階彎矩與二階彎矩之和。

應該指出，框架形狀的不對稱、豎向荷載的不對稱或兩者都不對稱等情況都會使框架產生側移。在這種情況下，柱軸向壓力N的存在也會產生與前相同的撓度和彎矩的增大。因此各類結構的偏心受壓構件正截面承載力計算，當二階彎矩不可忽略時，均應考慮結構側移和構件縱向彎曲變形引起的二階彎矩。

6.4.3 偏心距增大系數η

1. 二階彎矩影響的考慮方法

我國《混凝土結構設計規范》對長細比 lo/i較大的偏心受壓構件，采用把初始偏心距ei值乘以一個偏心距增大系數η來近似考慮二階彎矩的影響。即

ei + f =(1+f/ei)ei = ηei (6-12)

ei = e0 + ea

式中 f ── 長柱縱向彎曲后產生側向最大撓度值;

η—— 考慮二階彎矩影響的偏心距增大系數;

ei ── 初始偏心矩;

e0 ── 軸向力對截面重心的偏心矩，e0 = M/N;

ea ── 附加偏心矩，取偏心方向截面尺寸的1/30和20mm中的較大者;

附加偏心距 ea 是考慮荷載作用位置的不定性、混凝土質量的不均勻性和施工誤差等因素的綜合影響。

2. η值計算公式(η—l0法)

η= 1+(l0/ h)2ζ1ζ2/1400(ei/ h0) (6-20)

式中 l0 ── 構件的計算長度;

h ── 偏心方向截面尺寸，圓形截面取直徑d;環形截面取外直徑D;

h0 ── 截面的有效高度;

ζ1 ── 偏心受壓構件截面曲率修正系數;

ζ1 = 0.5fcA/N (6-17)

當ζ1> 1.0時，取ζ1 = 1.0

ζ2 ── 偏心受壓構件長細比對截面曲率的影響系數;

當 l0/h<15時， ζ2 = 1.0

當 l0/h=15～30時，ζ2=1.15-0.01 l0/h

A ── 構件的截面面積， A = bh + (bfˊ-b)hfˊ