2018年自考公共課數論初步章節講義：整除
瀏覽
收藏
2018年自考公共課數論初步章節講義：整除
Ø 第一章 整除
一、主要內容
整除的定義、帶余除法定理、余數、最大公因數、最小公倍數、輾轉相除法、互素、兩兩互素、素數、合數、算術基本定理、Eratosthesen篩法、[x]和{x}的性質、n!的標準分解式。
二、基本要求
通過本章的學習，能了解引進整除概念的意義，熟練掌握整除 整除的定義以及它的基本性質，并能應用這些性質，了解解決整除問題的若干方法，熟練掌握本章中二個著名的定理：帶余除法定理和算術基本定理。認真體會求二個數的最大公因數的求法的理論依據，掌握素數的定義以及證明素數有無窮多個的方法。能熟練求出二個整數的最大公因數和最小公倍數，掌握高斯函數[x]的性質及其應用。
三、重點和難點
(1)素數以及它有關的性質，判別正整數a為素數的方法，算術基本定理及其應用。
(2)素數有無窮多個的證明方法。
(3)整除性問題的若干解決方法。
(4)[x]的性質及其應用，n!的標準分解式。
四、自學指導
整除是初等數論中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一個整數q，使得等式a=bq成立。因此這一標準作為我們討論整除性質的基礎。也為我們提供了解決整除問題的方法。即當我們無法用整除語言來敘述或討論整除問題時，可以將其轉化為我們很熟悉的等號問題。
對于整除的若干性質，最主要的性質為傳遞性和線性組合性，即
(1) a∣b, b∣c, 則有a∣c
(2) a∣b, a∣c, 則有a∣mb+nc
讀者要熟練掌握并能靈活應用。特別要注意，數論的研究對象是整數集合，比小學數學中非負整數集合要大。
本章中最重要的定理之一為帶余除法定理，即為
設a是整數，b是非零整數，則存在兩個整數q，r，使得
a=bq+r (0)
它可以重作是整除的推廣。同時也可以用帶余除法定理來定義整除性，(即當余數r=0時)。帶余除法可以將全體整數進行分類，從而可將無限的問題轉化為有限的問題。這是一種很重要的思想方法，它為我們解決整除問題提供了又一條常用的方法。同時也為我們建立同余理論建立了基礎。讀者應熟知常用的分類方法，例如把整數可分成奇數和偶數，特別對素數的分類方法。例全體奇素數可以分成4k+1，4k+3;或6k+1，6k+5等類型。
和整除性一樣，二個數的最大公約數實質上也是用等號來定義的，因此在解決此類問題時若有必要可化為等式問題，最大公因數的性質中最重要的性質之一為 a=bq+c，則一定有(a，b)=(b，c)，就是求二個整數的最大公約數的理論根據。也是解決關于最大公約數問題的常用方法之一。讀者應有盡有認真體會該定理的證明過程。
互素與兩兩互素是二個不同的概念，既有聯系，又有區別。要認真體會這些相關的性質，例如，對于任意a ,b∈Z，可設(a ,b)=d，則a=da1 ,b=db1，則(a1 ,b1)=1，于是可對a1 ,b1使用相應的定理，要注意，相關定理及推論中互素的條件是經常出現的。讀者必須注意定理成立的條件，也可以例舉反例來進行說明以加深影響。順便指出，若a∣c，b∣c，(a ,b)=1，則ab∣c是我們解決當除數為合數時的一種方法。好處是不言而喻的。
最小公倍數實際上與最大公因數為對偶命題。特別要指出的是a和b的公倍數是有無窮多個。所以一般地在無窮多個數中尋找一個最小數是很困難的，為此在定義中所有公倍數中的最小的正整數。這一點實際上是應用自然數的最小自然數原理，即自然數的任何一個子集一定有一個最小自然數有在。最小公倍數的問題一般都可以通過以下式子轉化為最大公因數的問題。兩者的關系為
a ,b∈N， [a ,b]=ab/(a,b)
上述僅對二個正整數時成立。當個數大于2時，上述式子不再成立。證明這一式子的關鍵是尋找a , b的所有公倍數的形式，然后從中找一個最小的正整數。
解決了兩個數的最小公倍數與最大公因數問題后，就可以求出n個數的最小公倍數與最大公因數問題，可以兩個兩個地求。即有下面定理
設a1,a2,a3...ax
是n個整數，(a1,a2)=d2;
(d2,a3)=d3,...
(dn-q,an)=dn,
則(a1,a2,...ax)=dx
a1,a2,...an]=mn
素數是數論研究的核心，許多中外聞名的題目都與素數有關。除1外任何正整數不是質數即為合數。判斷一個已知的正整數是否為質數可用判別定理去實現。判別定理又是證明素數無窮的關鍵。實際上，對于任何正整數n>1，由判別定理一定知存在素數p，使得p∣n 。即任何大于1的整數一定存在一個素因數p 。素數有幾個屬于內在本身的性質，這些性質是在獨有的，讀者可以用反例來證明：素數這一條件必不可少。以加深對它們的理解。其中p∣ab
→p∣a或p∣b也是常用的性質之一。也是證明算術基本定理的基礎。
算術基本定理是整數理論中最重要的定理之一，即任何整數一定能分解成一些素數的乘積，而且分解是唯一的，不是任何數集都能滿足算術基本定理的，算術基本定理為我們提供了解決其它問題的理論保障。它有許多應用，由算術基本定理我們可以得到自然數的標準分解問題。
設a=
，b=
，
則有 (a，b)=
[a，b]=
例如可求最大公約數，正整數正約數的個數等方面問題，對具體的n，真正去分解是件不容易的事。對于較特殊的n，例如n!分解還是容易的。應用[x]的性質，n!的標準分解式可由一個具體的公式表示出來，這一公式結合[x]的性質又提供了解決帶有乘除符號的整除問題的方法。
本章的許多問題都圍繞著整除而展開，讀者應對整除問題的解決方法作一簡單的小結。
五、例子選講
補充知識
①最小自然數原理：自然數的任意非空子集中一定存在最小自然數。
②抽屜原理：
(1)設n是一個自然數，有n個盒子，n+1個物體，把n+1個物體放進n個盒子，至少有一個盒子放了兩個或兩個以上物體;
(2)km+1個元素，分成k組，至少有一組元素其個數大于或等于m+1;
(3)無限個元素分成有限組，至少有一組其元素個數為無限。
③梅森數：形如2n-1的數叫梅森數，記成Mn=2n-1。
④費爾馬數：n為非負整數，形如
的數叫費爾馬數，記成Fn=
。 ⑤設n=
，設n的正因子個數為d(n)，所有正因子之和為
，則有
⑥有關技巧
1. 整數表示a=a0×10n+a1×10n-1+…+an，
a=2kb(b為奇數)
2.整除的常用方法
a. 用定義
b. 對整數按被n除的余數分類討論
c. 連續n個整數的積一定是n的倍數
d. 因式分解
an-bn=(a-b)M1,
an+bn=(a+b)M2, 2
n
e. 用數學歸納法
f. 要證明a|b，只要證明對任意素數p，a中p的冪指數不超過b中p的冪指數即可，用p(a)表示a中p的冪指數，則a|b
p(a)
p(b)
例題選講
例1.請寫出10個連續正整數都是合數.
解: 11!+2，11!+3，……，11!+11。
例2. 證明連續三個整數中，必有一個被3整除。
證：設三個連續正數為a，a+1，a+2，而a只有3k，3k+1，3k+2三種情況，令a=3k，顯然成立，a=3k+1時，a+2=3(k+1)，a=3k+2時，a+1=3(k+1)。
最新資訊
- 歷年整理！2025年10月自考《毛概》簡答題常考重點，附考前預測100題2025-09-24
- 歷年匯總！2025年10月《馬原》高頻考點及備考資料2025-09-23
- 重點！2025年10月自考《習概(15040)》常考簡答題匯總2025-09-22
- 臨考沖刺！2025年10月自考考試題型、評分標準確定，速領沖刺資料包2025-09-22
- 常考！2025年10月自考《英語二》高頻考點+必背知識點2025-09-22
- 2025年10月自考開考科目清單公布！新版教材這樣買才不會錯2025-09-21
- 倒計時！2025年10月自考考前沖刺，這些資料必須有2025-09-20
- 重點收藏！2025年10月自考《中國近代史綱要》歷史事件時間點梳理2025-09-19
- 考生必看！2025年10月自考《中國近代史綱要》必背考點2025-09-19
- 重點收藏！2025年10月自考《習概(15040)》歷年高頻簡答題匯總2025-09-19
打卡人數
