期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)——套利理論

下面講述期權(quán)定價(jià)不公允時(shí)的套利方法(以看漲期權(quán)為例)

基本思路：構(gòu)建股票交易、期權(quán)交易、資金借貸三者之間的“對沖”交易。

1.期權(quán)市價(jià)<期權(quán)價(jià)值(低估)：

(1)買入期權(quán)(獲得在未來以固定價(jià)格“買入”標(biāo)的股票的權(quán)利);

(2)“賣出”標(biāo)的股票;(數(shù)量為套期保值比率)

(3)“借出”剩余資金。(金額為套期保值原理中的借款額)

【典型例題·計(jì)算題】假設(shè)M公司的股票現(xiàn)在的市價(jià)為20元。有1股以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為22元，到期時(shí)間是6個(gè)月，到期前預(yù)計(jì)M公司不派發(fā)股利。

6個(gè)月以后股價(jià)有兩種可能：上升25%，或者降低20%。無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年4%。現(xiàn)構(gòu)建一個(gè)用一定量自有資金加一部分借款投資于M公司股票的組合，使得無論股價(jià)如何變動(dòng)，該組合6個(gè)月后的損益與購進(jìn)該看漲期權(quán)的到期日價(jià)值相等，則構(gòu)建組合的成本(自有資金)就應(yīng)等效于該看漲期權(quán)的當(dāng)前價(jià)值。推導(dǎo)過程如下：

上行乘數(shù)u=1+上升百分比=1+25%=1.25

下行乘數(shù)d=1-下降百分比=1-20%=0.8

6個(gè)月后上行股價(jià)Su=20×1.25=25元>執(zhí)行價(jià)格22元，行權(quán)

6個(gè)月后上行期權(quán)到期日價(jià)值Cu=25-22=3元

6個(gè)月后下行股價(jià)Sd=20×0.8=16元<執(zhí)行價(jià)格22元，棄權(quán)

6個(gè)月后下行期權(quán)到期日價(jià)值Cd=0

設(shè)：復(fù)制組合中應(yīng)購買的股票數(shù)量為H股(套期保值比率)，需借入的本金為Y，令：組合的到期日價(jià)值=期權(quán)的到期日價(jià)值，可得：

股價(jià)上行時(shí)(執(zhí)行期權(quán))，有：

25×H-Y×(1+2%)=3……①

股價(jià)下行時(shí)(放棄期權(quán))，有：

16×H-Y×(1+2%)=0……②

由①-②，得：

套期保值比率=(3-0)/(25-16)=0.3333

借款本金Y=Sd×H×(1+i)-n

=16×0.3333/(1+2%)=5.23元

期權(quán)價(jià)值(復(fù)制組合中的自有資金)C0=購買股票支出-借款本金=20×0.3333-5.23=1.44元

假設(shè)某M公司的看漲期權(quán)價(jià)格=1.3元<1.44元(低估)，應(yīng)買入被市場低估的期權(quán)，獲取套利利潤1.44-1.3=0.14元。

套利過程為：買入1份看漲期權(quán)，賣空0.3333股股票，同時(shí)借出5.23元。預(yù)期現(xiàn)金流量如下：

可見，通過套利，無論未來股價(jià)如何變動(dòng)，均可平倉(未來現(xiàn)金凈流量=0)，但當(dāng)期可獲得0.14元現(xiàn)金。

2.期權(quán)市價(jià)>期權(quán)價(jià)值(高估)：

(1)賣出期權(quán)(承擔(dān)在未來以固定價(jià)格“賣出”標(biāo)的股票的潛在義務(wù));

(2)“買入”標(biāo)的股票;(數(shù)量為套期保值比率)

(3)“借入”剩余資金。(金額為套期保值原理中的借款額)

例如，假設(shè)前例M公司的看漲價(jià)格=1.5元>1.44元(高估)，應(yīng)賣出被市場高估的期權(quán)，獲取套利利潤1.5-1.44=0.06元。

套利過程為：賣出1份看漲期權(quán)，買入0.3333股股票，同時(shí)借入5.23元。預(yù)期現(xiàn)金流量如下：

可見，通過套利，無論未來股價(jià)如何變動(dòng)，均可平倉(未來現(xiàn)金凈流量=0)，但當(dāng)期可獲得0.06元現(xiàn)金。

【提示】如果由市場決定的期權(quán)價(jià)格和按照復(fù)制原理計(jì)算的期權(quán)價(jià)值二者不一致，說明存在套利空間。套利就是對于不合算的就做反向操作，合算的就可以投資。

(1)如果期權(quán)價(jià)格是高估(期權(quán)價(jià)格大于期權(quán)價(jià)值)，說明購買期權(quán)不合算，借款買股票投資組合就合算的，應(yīng)當(dāng)是賣出期權(quán)，那么相應(yīng)的，就要買組合，即買股票以及借入款項(xiàng)。

(2)如果期權(quán)價(jià)格是低估(期權(quán)價(jià)格小于期權(quán)價(jià)值)，說明購買期權(quán)合算，借款買股票投資組合就不合算的，應(yīng)當(dāng)是買入期權(quán)，那么相應(yīng)的，就要賣組合，即賣出股票以及貸出款項(xiàng)。

即期權(quán)的買賣和組合的買賣方向是相反的，買期權(quán)，就賣組合;賣期權(quán)，就買組合。

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