綜合評價的層次分析法

　　層次分析法(Analytical Hierarchy Process，簡稱AHP)是一種綜合了定性與定量分析、使人腦決策思維模型化的決策方法。

　　(一)層次分析法的基本原理

　　層次分析法的基本思想是把復雜問題分解成若干層次，在最低層次通過兩兩對比得出每個因素的權重，通過由低到高的層層分析計算，最后計算出各方案對總目標的權數，權數最大的方案即為最優方案。

　　層級分析法的基本假設是層次之間存在遞進結構，即從高到低或從低到高遞進。

　　(二)層次分析法的基本步驟

　　1.建立遞階層次結構模型。

　　AHP的基本方法是建立層次結構模型。建立層次模型，首先要對所解決問題有明確認識。其次，將決策問題層次化。將決策問題劃分為若干層次，第一層是總目標層;中間層次稱為標準層、準則層;最底層一般稱為方案層或措施層。層次結構示意圖見圖5-19。

　　決策目標

　　目標層

　　準則1

　　準則2

　　準則k

　　準則層 ……

　　子準則1

　　子準則m

　　子準則2

　　子準則層 ……

　　方案1

　　方案n

　　方案2

　　方案層 ……

　　圖5-19 AHP層次結構

　　2.構造判斷矩陣

　　建立層次模型后，可以在各層元素中進行兩兩比較，判斷其相對重要性，構造出判斷矩陣。判斷矩陣是定性過渡到定量的重要環節。

　　設 表示反映第i個方案對于最低層目標的優越性或某層第i個目標對于上層某一目標的重要性的權重，以每兩個方案(或子目標)的相對重要性為元素，構造的判斷矩陣為：

　　設 ，則判斷矩陣的元素 具有如下性質：(1) =1(2) = (3) 判斷矩陣A中的元素 可以利用決策者的知識和經驗估算出來。由于決策者的估算并不是很準確，因此，第三條性質不一定成立。判斷矩陣的元素 及其含義，如表5-4所示。

　　表5-4 判斷矩陣的元素及其含義表

　　含義(兩個目標相對重要性的比較)

　　1

　　3

　　5

　　7

　　9

　　2，4，6，8，

　　= 兩因素相比，具有同樣重要性

　　兩因素相比，前者比后者稍重要

　　兩因素相比，前者比后者明顯重要

　　兩因素相比，前者比后者重要很多

　　兩因素相比，前者比后者極重要

　　兩因素的相比重要性為上述描述的中間

　　兩因素相比，若前者比后者有上述取值，則后者對前者有其倒數

　　3.層次單排序及一致性檢驗。

　　層次單排序是通過求解判斷矩陣的特征根和特征向量，對本層次的所有因素相對于上一層次而言的重要性進行排序。即對判斷矩陣A，計算滿足下式的特征根和特征向量。

　　式中 ――A的最大特征根

　　W――對應于 的正規化特征向量。W的分量 即是相應因素單排序的權值。

　　常用的計算方法有冪法、方根法及和積法。其中的和積法僅利用計算器便可獲得足夠的精度。具體計算步驟為：

　　第一步：將判斷矩陣元素按列歸一化計算。

　　(i,j=1,2,…,n)

　　第二步：將按列歸一化后的元素按行相加計算。

　　(i=1,2,…,n)

　　第三步：將向量 正規化(或規一化)。

　　(i=1,2,…,n)

　　第四步：計算判斷矩陣的最大特征根 。

　　式中 ――向量AW的第i個分量。

　　第五步：判斷矩陣一致性檢驗

　　為了檢查決策者在構造判斷矩陣時的判斷思維是否具有一致性，要進行矩陣一致性檢驗，計算一致性指標和檢驗系數。

　　一致性指標的計算公式為：CI=( -n)/(n-1)

　　檢驗系數的計算公式為：CR=CI/RI

　　RI是平均隨機一致性指標，可通過表5-5查得。

　　表5-5 RI系數表

　　維數n12345678910

　　RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.451.49

　　一般情況下，相對一致性指標CR愈小，判斷矩陣的一致性愈好。當CR<0.1時，一般認為判斷一致性要求。否則，需要重新調整判斷矩陣。

　　4.層次總排序及一致性檢驗。

　　通過一致性檢驗后，便可將按規一化處理過的特征向量作為某一層次對上一層次某因素相對重要性的排序加權值，然后從高層次到低層次逐層計算排序權值，得到層次總排序。

　　設上層次因素 ，已知的排序權值分別為 ，且 ;又知下層次因素為 ，相對于上層次 的下層次因素 的單排序權值分別為 ， ，...， ，且 ;下層次因素 的總排序權值為：

　　(j=1,2,…,n) 且 最后對總排序的一致性檢驗。總排序一致性檢驗計算公式為：

　　CR=CI/RI

　　當CR<0.1時，可認為層次總排序的計算結構具有滿意的一致性。

　　利用層次單排序的結果，計算本層次所有元素對上層次相對重要性的數值，層次總排序自上而下逐層進行，最后得出各方案相對總目標的權重。

　　(三)層次分析法的應用

　　層次分析法可以廣泛應用于多目標決策、多方案選擇、綜合評價等各方面。