2009年統(tǒng)計(jì)師《統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)》參數(shù)評(píng)估(1)

更新時(shí)間：2009-10-19 15:27:29 來源：|0

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　　(一) 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

　　點(diǎn)估計(jì)又稱定值估計(jì)，是一種對(duì)未知的總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的統(tǒng)計(jì)方法，其估計(jì)結(jié)果是一個(gè)具體數(shù)值。

　　點(diǎn)估計(jì)問題的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：設(shè)總體X的分布函數(shù)F 形式為已知，是待估參數(shù)，是X的一個(gè)樣本，是相應(yīng)的一個(gè)樣本觀察值，通過構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量 ( )，用它的觀察值 ( )來估計(jì)未知參數(shù) 。我們稱 ( )為的估計(jì)量，稱 ( )為的估計(jì)值，在不致混淆的情況下統(tǒng)稱為估計(jì)，并都簡記為。需要注意的是，由于估計(jì)量是樣本的函數(shù)，因此對(duì)于不同的樣本，估計(jì)值往往是不同的。

　　點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的具體估計(jì)值，其表達(dá)更直觀、簡練，并可以作為行動(dòng)決策的數(shù)量依據(jù)。但其不足之處也是很明顯：點(diǎn)估計(jì)所提供的信息量比較少，尤其不能提供估計(jì)的誤差和把握程度方面的信息，比如說，誤差會(huì)有多大，有多大把握可以保證結(jié)果正確等，這些信息在決策中往往是非常重要的。

　　點(diǎn)估計(jì)的方法主要有矩估計(jì)法、最大似然法及貝葉斯法等。

　　1. 矩估計(jì)法

　　矩估計(jì)法首先在1849年由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出，它有簡單易行的優(yōu)點(diǎn)。用樣本的矩作為相應(yīng)(同類、同階)總體矩的估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法。

　　在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征。矩分原點(diǎn)矩和中心矩兩種。

　　設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)于任意正整數(shù)k，稱E(Xk)為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，稱E[X-E(X)]k為以E(X)為中心的k階中心矩。當(dāng)k=1時(shí)，E[X-E(X)]= ，當(dāng)k=2時(shí)，E[X-E(X)]2= ，于是說總體X的一階原點(diǎn)矩(總體均值)為 =EX，二階中心矩為 =DX，(即：總體的一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，二階中心矩則是方差)

　　1. 最大似然估計(jì)法

　　最大似然估計(jì)法是費(fèi)歇在1912年提出的。從理論上看，它是參數(shù)點(diǎn)估計(jì)中最重要的方法，具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，應(yīng)用十分廣泛。最大似然估計(jì)法是建立在最大似然原理基礎(chǔ)上的求估計(jì)量的方法。

　　(1) 最大似然原理

　　最大似然原理的直觀想法是：將在試驗(yàn)中概率最大的事件推斷為最可能出現(xiàn)的事件。

　　一般地，如果總體分布中未知參數(shù) 可供選擇的估計(jì)有，對(duì)于任意x，恒有：成立。其中是中的某一個(gè)，是異于中任一估計(jì)，由于使概率 )為最大，故應(yīng)選作為的估計(jì)。滿足上式的稱為待估參數(shù) 的最大似然估計(jì)。這就是最大似然原理的基本思想。

　　(2) 最大似然估計(jì)法簡介(略)

　　2. 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

　　在參數(shù)估計(jì)中，我們用樣本估計(jì)量作為總體參數(shù) 的估計(jì)。實(shí)際上，用于估計(jì)的估計(jì)量在很多情況下不只一個(gè)，例如：我們可以用樣本均值作為總體均值的估計(jì)量，也可以用樣本中位數(shù)作為總體均值的估計(jì)量等等。

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