理論力學(xué)平衡定義

　　永遠(yuǎn)遵循一個(gè)四字原則：動(dòng)、等、定、變。

　　動(dòng)：平衡不是一潭死水，是動(dòng)態(tài)的。拿一個(gè)蓄水池舉例，它是有進(jìn)水和出水的。

　　等：平衡中得到的與失去的總保持相等。就好像進(jìn)水總等于出水，才能保持水面高度不變。

　　定：保持平衡的特點(diǎn)就是，平橫總保持穩(wěn)定。

　　變：當(dāng)平衡的一邊改變時(shí)，另一邊也會(huì)隨之改變以達(dá)到新的平衡。

　　Balance is the ability to keep an upright posture, while either standing still or moving.

　　People with good balance are likely to be good in activities such as ice skating, windsurfing, and gymnastics.

　　在力學(xué)系統(tǒng)里，平衡是指慣性參照系內(nèi)，物體受到幾個(gè)力的作用，仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，或繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的狀態(tài)，叫做物體處于平衡狀態(tài)，簡(jiǎn)稱物體的“平衡”。因穩(wěn)度的不同，物體的平衡分為：穩(wěn)定平衡、隨遇平衡、不穩(wěn)定平衡三種情況。

　　①對(duì)立的兩個(gè)方面、相關(guān)的幾個(gè)方面在數(shù)量或質(zhì)量上均等或大致均等：收支平衡|產(chǎn)、供、銷總體平衡|生態(tài)平衡。②幾股互相抵銷的力作用于一個(gè)物體上，使物體保持相對(duì)的靜止?fàn)顟B(tài)：保持身體平衡|飛機(jī)失去了平衡。③平穩(wěn)安適：心理平衡。

　　理論力學(xué)剛體的簡(jiǎn)介

　　它是力學(xué)中的一個(gè)科學(xué)抽象概念，即理想模型。事實(shí)上任何物體受到外力，不可能不改變形狀。實(shí)際物體都不是真正的剛體。若物體本身的變化不影響整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，為使被研究的問題簡(jiǎn)化，可將該物體當(dāng)作剛體來處理而忽略物體的體積和形狀，這樣所得結(jié)果仍與實(shí)際情況相當(dāng)符合。例如，物理天平的橫梁處于平衡狀態(tài)，橫梁在力的作用下產(chǎn)生的形變很小，各力矩的大小都幾乎不變。對(duì)于形變，實(shí)際是存在的，但可不予考慮。為此在研究天平橫梁平衡的問題時(shí)，可將橫梁當(dāng)作剛體。

　　在外力作用下,物體的形狀和大小(尺寸)保持不變,而且內(nèi)部各部分相對(duì)位置保持恒定(沒有形變),這種理想物理模型稱之為剛體.

　　剛體是個(gè)理想模型。如果物體的剛性足夠大，以致其中彈性波的傳播速度比該物體的運(yùn)動(dòng)速度大很多，從而可以認(rèn)為彈性擾動(dòng)的傳播是瞬時(shí)的，就可以把該物體當(dāng)作剛體處理。

　　在剛體問題中，可將剛體當(dāng)作一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)組(質(zhì)量連續(xù)分布，各質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變)。將前面學(xué)過的關(guān)于質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，角動(dòng)量定理等用到這一特殊的質(zhì)點(diǎn)組就可得到有關(guān)剛體的一些規(guī)律。

　　理論力學(xué)剛體的分類

　　平動(dòng)

　　任意剛體兩點(diǎn)連線保持方向不變,各點(diǎn)的位移,速度,加速度相同,可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理.

　　如果剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，兩個(gè)坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸永遠(yuǎn)相互平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平動(dòng)。此時(shí)剛體上所有質(zhì)點(diǎn)，都有相同的加速度。故剛體上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可以代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，所以剛體平動(dòng)時(shí)和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)完全一樣，其自由度為3，可取c點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)xyz為廣義坐標(biāo)，平動(dòng)并不一定是直線運(yùn)動(dòng)，如圖所示的鋼體就是一種平動(dòng)，這里每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)但圖4.1(a)所示的鋼體運(yùn)動(dòng)就不再是一種平動(dòng)，這里每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)。但圖4.1(b)所示的剛體運(yùn)動(dòng)就不在是平動(dòng)，因?yàn)樵谶@種運(yùn)動(dòng)過程中，固定在剛體上的坐標(biāo)軸并非始終保持和oxyz 的軸平行。

　　定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

　　剛體上每點(diǎn)繞同一軸線做圓周運(yùn)動(dòng),且轉(zhuǎn)軸空間位置及轉(zhuǎn)動(dòng)方向保持不變.

　　如果剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，至少有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)保持不動(dòng)，那么將這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連線取為兩個(gè)坐標(biāo)系的一個(gè)公共坐標(biāo)軸(z)軸，則剛體上各點(diǎn)都饒此軸作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體再任一時(shí)刻的位置可用ox軸相對(duì)于ox.轉(zhuǎn)過的角度φ來確定，如圖4.2所示，其自由度為1，φ就是廣義坐標(biāo)。

　　平面平行運(yùn)動(dòng)

　　剛體的質(zhì)心被限制在同一平面內(nèi),轉(zhuǎn)軸可平動(dòng),但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心.

　　如果剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體中任意一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則稱為平面平行運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平面運(yùn)動(dòng)，此時(shí)只須研究剛體中任一和固定平面平行的截面運(yùn)動(dòng)就夠了。

　　定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

　　剛體上各點(diǎn)都在以某一定點(diǎn)為球心的球面上運(yùn)動(dòng).

　　在運(yùn)動(dòng)過程中有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。我們可取這個(gè)固定點(diǎn)為上述兩個(gè)坐標(biāo)系的公共原點(diǎn)，坐標(biāo)軸之間的夾角則可以任一改變。可以證明，在這種情況下，剛體從一個(gè)初位置運(yùn)動(dòng)到任意一個(gè)新位置時(shí)，恒可通過三個(gè)獨(dú)立的角坐標(biāo)來表示。設(shè)t=0時(shí)，坐標(biāo)系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4(a);在時(shí)刻t，坐標(biāo)系oxyz運(yùn)動(dòng)到一個(gè)新位置，如圖4.4(d)。這個(gè)運(yùn)動(dòng)可以看作三個(gè)獨(dú)立的轉(zhuǎn)動(dòng)合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度φ，使ox軸達(dá)到圖4.4(d)中oxy平面和ox.y.平面的交線on的位置，變?yōu)閛x'y'z'如圖4.4(b).交線on稱為節(jié)線。其次，使oy'z'平面繞節(jié)線on轉(zhuǎn)過角度θ，使坐標(biāo)軸達(dá)到新位置ox"y"z",使oz"軸和圖4.4(d)中oz軸位置重合。最后，令ox"y"平面繞oz"軸轉(zhuǎn)過角度φ，使坐標(biāo)軸達(dá)到圖4.4(d)中的最終位置。

　　上述φθ?三個(gè)角坐標(biāo)稱為歐拉角，φ稱為進(jìn)動(dòng)角，θ稱為章動(dòng)角，?稱為自轉(zhuǎn)角，這三個(gè)角度的變化范圍為：

　　0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

　　從上面的討論可知，作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體在空間的任一位置可有三個(gè)歐拉角唯一確定，所以三個(gè)歐拉角就是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)。 　　但是這種描述方法不是唯一的。例如我們也可以把剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)看成是轉(zhuǎn)動(dòng)軸oz方向可以任意變化的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。要確定oz軸的方向，可用球坐標(biāo)的余緯角θ和經(jīng)度角φ來表示，在加上繞軸oz的轉(zhuǎn)角ψ，它們同樣可以唯一的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標(biāo)，這三個(gè)角坐標(biāo)和三個(gè)歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。

　　一般運(yùn)動(dòng)

　　平面運(yùn)動(dòng)與一般轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合.

　　剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒可以分解為平動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分，如圖4.5所示。平動(dòng)部分可用c點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)x.y.z.描述，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)部分可以用三個(gè)歐拉角φθψ描述。這6個(gè)坐標(biāo)就是剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的廣義坐標(biāo)。