定點轉動

　　剛體上各點都在以某一定點為球心的球面上運動.

　　在運動過程中有一點永遠保持不動。我們可取這個固定點為上述兩個坐標系的公共原點，坐標軸之間的夾角則可以任一改變?？梢宰C明，在這種情況下，剛體從一個初位置運動到任意一個新位置時，恒可通過三個獨立的角坐標來表示。設t=0時，坐標系oxyz和ox.y.z.重合，如圖4.4(a);在時刻t，坐標系oxyz運動到一個新位置，如圖4.4(d)。這個運動可以看作三個獨立的轉動合成。首先，令oxyz平面繞oz.軸轉過一個角度φ，使ox軸達到圖4.4(d)中oxy平面和ox.y.平面的交線on的位置，變為ox'y'z'如圖4.4(b).交線on稱為節線。其次，使oy'z'平面繞節線on轉過角度θ，使坐標軸達到新位置ox"y"z",使oz"軸和圖4.4(d)中oz軸位置重合。最后，令ox"y"平面繞oz"軸轉過角度φ，使坐標軸達到圖4.4(d)中的最終位置。

　　上述φθØ三個角坐標稱為歐拉角，φ稱為進動角，θ稱為章動角，Ø稱為自轉角，這三個角度的變化范圍為：

　　0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

　　從上面的討論可知，作定點轉動時，剛體在空間的任一位置可有三個歐拉角唯一確定，所以三個歐拉角就是剛體定點轉動的廣義坐標。 　　但是這種描述方法不是唯一的。例如我們也可以把剛體定點轉動看成是轉動軸oz方向可以任意變化的定軸轉動。要確定oz軸的方向，可用球坐標的余緯角θ和經度角φ來表示，在加上繞軸oz的轉角ψ，它們同樣可以唯一的確定剛體在空間的位置，也是廣義坐標，這三個角坐標和三個歐拉角并不完全一樣，其中θ和ψ是一樣的。但兩者的φ并不一樣。

　　一般運動

　　平面運動與一般轉動的結合.

　　剛體作一般運動時，恒可以分解為平動和定點轉動兩部分，如圖4.5所示。平動部分可用c點的三個坐標x.y.z.描述，定點轉動部分可以用三個歐拉角φθψ描述。這6個坐標就是剛體作一般運動時的廣義坐標。

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