第2章 數據編碼和數據運算$lesson$

　　一、名詞解釋：

　　歷年真題：

　　（2001年，2002年）基數：在浮點數據編碼中，對階碼所代表的指數值的數據，在計算機中是一個常數，不用代碼表示。

　　（2003年）移碼：帶符號數據表示方法之一，符號位用1表示正，0表示負，其余位與補碼相同。

　　（2004年）溢出：指數的值超出了數據編碼所能表示的數據范圍。

　　（2005年）偶校驗碼：讓編碼組代碼中1的個數為偶數，違反此規律為校驗錯。

　　近5年每年都考名稱解釋，所以第二章的名稱解釋是考試的重點，這里給大家列出了名詞解釋大家要熟悉一下，這都是本章的基本概念，有利于做選擇題及填空題。

　　1.原碼：帶符號數據表示方法之一，一個符號位表示數據的正負，0代表正號，1代表負號，其余的代表數據的絕對值。

　　2.補碼：帶符號數據表示方法之一，正數的補碼與原碼相同，負數的補碼是將二進制位按位取反后在最低位上加1.

　　3.反碼：帶符號數據的表示方法之一，正數的反碼與原碼相同，負數的反碼是將二進制位按位取反

　　4.階碼：在浮點數據編碼中，表示小數點的位置的代碼。

　　5.尾數：在浮點數據編碼中，表示數據有效值的代碼。

　　6.機器零：在浮點數據編碼中，階碼和尾數都全為0時代表的0值。

　　7.上溢：指數的絕對值太大，以至大于數據編碼所能表示的數據范圍。

　　8.下溢：指數的絕對值太小，以至小于數據編碼所能表示的數據范圍。

　　9.規格化數：在浮點數據編碼中，為使浮點數具有唯一的表示方式所作的規定，規定尾數部分用純小數形式給出，而且尾數的絕對值應大于1/R，即小數點后的第一位不為零。

　　10.Booth算法：一種帶符號數乘法，它采用相加和相減的操作計算補碼數據的乘積。

　　11.海明距離：在信息編碼中，兩個合法代碼對應位上編碼不同的位數。

　　12.馮？諾依曼舍入法：浮點數據的一種舍入方法，在截去多余位時，將剩下數據的最低位置1.

　　13.檢錯碼：能夠發現某些錯誤或具有自動糾錯能力的數據編碼。

　　14.糾錯碼：能夠發現某些錯誤并且具有自動糾錯能力的數據編碼。

　　15.奇校驗碼：讓編碼組代碼中1的個數為奇數，違反此規律為校驗錯。

　　16.海明碼：一種常見的糾錯碼，能檢測出兩位錯誤，并能糾正一位錯誤。

　　17.循環碼：一種糾錯碼，其合法碼字移動任意位后的結果仍然是一個合法碼字。

　　18.桶形移位器：可將輸入的數據向左、向右移動1位或多位的移位電路。

　　二、數制度的轉換：

　　歷年真題：

　　（2001年）1.若十進制數據為 137.5 則其八進制數為（ ）。

　　A.89.8　　　　B.211.4　　　　C.211.5　　　　D.1011111.101

　　「分析」：十進制數轉化為八進制數時，整數部分和小數部分要用不同的方法來處理。整數部分的轉化采用除基取余法：將整數除以8，所得余數即為八進制數的個位上數碼，再將商除以8，余數為八進制十位上的數碼……如此反復進行，直到商是0為止；對于小數的轉化，采用乘基取整法：將小數乘以8，所得積的整數部分即為八進制數十分位上的數碼，再將此積的小數部分乘以8，所得積的整數部分為八進制數百分位上的數碼，如此反復……直到積是0為止。此題經轉換后得八進制數為211.40.

　　「答案」：B

　　（2002年）1.若十進制數為132.75，則相應的十六進制數為（　）。

　　A.21.3　　　 B.84.c　　　　　C.24.6　　　　 D.84.6

　　「分析」：十進制數轉化為十六進制數時，采用除16取余法；對于小數的轉化，采用乘16取整法：將小數乘以16，所得積的整數部分轉換為十六進制。此題經轉換后得十六進制數為84.c.

　　「答案」：B

　　（2003年）14.若十六進制數為 A3.5 ，則相應的十進制數為（　）。

　　A.172.5　　　B.179.3125　　　C.163.3125　　 D.188.5

　　「分析」：將十六進制數A3.5轉換為相應的十進制數，可采用乘冪相加法完成，即：10×161+3×160+5×16-1=163.3125.

　　「答案」：C

　　（2004年）1.若二進制數為 1111.101 ，則相應的十進制數為 （　）。

　　A.15.625　　B.15.5　　　　　C.14.625　　　 D.14.5

　　「分析」：將二進制數1111.101轉換為相應的十進制數，可采用乘冪相加法完成，即：1×23+1×22++1×21+1×20+1×2-1+1×2-3=15.625.

　　「答案」：A

　　（2005年）2.若十六進制數為B5.4，則相應的十進制數為（　）。

　　A.176.5　　B.176.25　　　　 C.181.25　　　 D.181.5

　　「分析」：將十六進制數B5.4轉換為相應的十進制數，可采用乘冪相加法完成，即：11×161+5×160+4×16-1=181.25.

　　「答案」：C

　　可見，數制的轉換每年必考，必須掌握。

　　還可能考的題型：

　　（1）十進制轉換為二進制

　　方法：整數部分除2取余，小數部分乘2取整。

　　（2）二進制轉換為八進制

　　方法：以小數點為界，整數部分從右向左每三位分為一組，最左端不夠三位補零；小數部分從左向右每三位分為一組，最右端不夠三位補零；最后將每小組轉換位一位八進制數。

　　（3）二進制轉換為十六進制

　　方法：以小數點為界，整數部分從右向左每四位分為一組，最左端不夠四位補零；小數部分從左向右每四位分為一組，最右端不夠四位補零；最后將每小組轉換位一位十六進制數。

　　三、數據編碼：

　　定點數編碼：

　　（2000年）2.如果X為負數，由[X]補求[-X]補是將（　）。

　　A.[X]補各值保持不變

　　B.[X]補符號位變反，其它各位不變

　　C.[X]補除符號位外，各位變反，未位加1

　　D.[X]補連同符號位一起各位變反，未位加1

　　「分析」：不論X是正數還是負數，由[X]補求[-X]補的方法是對[X]補求補，即連同符號位一起按位取反，末位加1.

　　「答案」：D

　　（2001年）2.若x補 =0.1101010 ，則 x 原=（　 ）。

　　A.1.0010101　　B.1.0010110　　C.0.0010110　　D.0.1101010

　　「分析」：正數的補碼與原碼相同，負數的補碼是用正數的補碼按位取反，末位加1求得。此題中X補為正數，則X原與X補相同。

　　「答案」：D

　　（2002年）2.若x=1011，則[x]補=（ 　）。

　　A.01011　　　　B.1011　　　　 C.0101　　 　　D.10101

　　「分析」：x為正數，符號位為0，數值位與原碼相同，結果為01011.

　　「答案」：A

　　（2003年）8.若［X］補=1.1011 ，則真值 X 是（　）。

　　A.-0.1011　　　B.-0.0101　　　C.0.1011　　　 D.0.0101

　　「分析」：[X]補=1.1011，其符號位為1，真值為負；真值絕對值可由其補碼經求補運算得到，即按位取后得0.0100再末位加1得0.0101，故其真值為-0.0101.

　　「答案」：B

　　（2004年）13.設有二進制數 x=－1101110，若采用 8 位二進制數表示，則［X］補（　）。

　　A.11101101　　B.10010011　　　C.00010011　　D.10010010

　　「分析」：x=－1101110為負數，負數的補碼是將二進制位按位取反后在最低位上加1，故[x] 補 =10010010.

　　「答案」：D

　　（2005年）1.若[X]補=0.1011，則真值X=（　）。

　　A.0.1011　　 B.0.0101　　　　 C.1.1011　　 D.1.0101

　　「分析」：[X]補=0.1011，其符號位為0，真值為正；真值就是0.1011.

　　「答案」：A

　　由上可見，有關補碼每年都考。同學也要注意一下移碼。

　　（2001）3.若定點整數 64 位，含 1 位符號位，補碼表示，則所能表示的絕對值最大負數為（　）。

　　A.-264　　　 B.-（264-1 ）　　C.-263　　 　D.-（263-1）

　　「分析」：字長為64位，符號位為1位，則數值位為63位。當表示負數時，數值位全0為負絕對值最大，為-263.

　　「答案」：C

　　（2002年）3.某機字長8位，含一位數符，采用原碼表示，則定點小數所能表示的非零最小正數為（　）

　　A.2-9　　　　B.2-8　　　　　　C.1-　　　　 D.2-7

　　「分析」：求最小的非零正數，符號位為0，數值位取非0中的原碼最小值，此8位數據編碼為：00000001，表示的值是：2-7.

　　「答案」：D

　　（2003年）13.n+1 位的定點小數，其補碼表示的是（　）。

　　A.-1 ≤ x ≤ 1-2-n　　　　　　B.-1 ＜ x ≤ 1-2-n

　　C.-1 ≤ x ＜ 1-2-n　　　　　　D.-1 ＜ x ＜ 1-2-n

　　「分析」：

　　編碼方式 最小值編碼 最小值 最大值編碼 最大值 數值范圍

　　n+1位無符號定點整數 000…000 0 111…111 2n+1-1 0≤x≤2n+1-1

　　n+1位無符號定點小數 0.00…000 0 0.11…111 1-2-n 0≤x≤1-2-n

　　n+1位定點整數原碼 1111…111 -2n+1 0111…111 2n-1 -2n+1≤x≤2n-1

　　n+1位點定小數原碼 1.111…111 -1+2-n 0.111…111 1-2-n -1+2-n≤x≤1-2-n

　　n+1位定點整數補碼 1000…000 -2n 0111…111 2n-1 -2n≤x≤2n-1

　　n+1位點定小數補碼 1.000…000 -1 0.111…111 1-2-n -1≤x≤1-2-n

　　n+1位定點整數反碼 1000…000 -2n+1 0111…111 2n-1 -2n+1≤x≤2n-1

　　n+1位點定小數反碼 1.000…000 -1+2-n 0.111…111 1-2-n -1+2-n≤x≤1-2-n

　　n+1位定點整數移碼 0000…000 -2n 1111…111 2n-1 -2n≤x≤2n-1

　　n+1位點定小數移碼 小數沒有移碼定義

　　「答案」：A

　　（2004年）12.定點小數反碼 [x] 反 =x0. x1 … xn表示的數值范圍是（　）。

　　A.-1+2-n ＜ x ≤ 1-2-n　　　　　B.-1+2-n ≤ x ＜1-2-n

　　C.-1+2-n ≤ x ≤ 1-2-n　　　　　D.-1+2-n ＜ x ＜1-2-n

　　答案：C

　　（2005年）3.一個n+1位整數原碼的數值范圍是（　）。

　　A.-2n+1＜ x <2n-1　　　　　　　B.-2n+1≤ x ＜2n-1

　　C.-2n+1＜ x ≤2n-1　　　　　　 D.-2n+1≤ x ≤2n-1

　　答案：D

　　由上可見，有關定點數編碼表示的數值范圍每年都考。今年可能考移碼，大家要注意。

　　浮點數編碼：

　　（2002年）4.設某浮點數共12位。其中階碼含1位階符共4位，以2為底，補碼表示；尾數含1位數符共8位，補碼表示，規格化。則該浮點數所能表示的最大正數是（　）。

　　A.27　　　　　　B.28　　　　　　C.28-1　　　　　　　　D.27-1

　　「分析」：為使浮點數取正數最大，可使尾數取正數最大，階碼取正數最大。尾數為8位補碼（含符號位），正最大為01111111，為1-2-7，階碼為4位補碼（含符號位），正最大為0111，為7，則最大正數為：（1-2-7）×27=27-1.

　　「答案」：D

　　四、定點數加減法：

　　定點數編碼：

　　（2001年）5.若采用雙符號位，則發生正溢的特征是：雙符號位為（　）。

　　A.00　　　　　　 B.01　　 　　　 C.10　　　　　　　　　D.11

　　「分析」：采用雙符號位時，第一符號位表示最終結果的符號，第二符號位表示運算結果是否溢出。當第二位和第一位符號相同，則未溢出；不同，則溢出。若發生正溢出，則雙符號位為01，若發生負溢出，則雙符號位為10.

　　「答案」：B

　　（2003年）12.加法器中每一位的進位生成信號 g 為（　）。

　　A.xi+yi　　　　　B.xiyi　　　　　C.xiyici　　　　　　　 D.xi+yi+ci

　　「分析」：在設計多位的加法器時，為了加快運算速度而采用了快速進位電路，即對加法器的每一位都生成兩個信號：進位生成信號g和進位傳播信號p，其中g和p定義為：gi=xiyi，p=xi+yi.

　　「答案」：B

　　（2004年）10.多位二進制加法器中每一位的進位傳播信號 p 為（　）。

　　A.xi+yi　　 　　　B.xiyi　　　　　C.xi+yi+ci　　 　　　　D.xiyici

　　「分析」：在設計多位的加法器時，為了加快運算速度而采用了快速進位電路，即對加法器的每一位都生成兩個信號：進位生成信號g和進位傳播信號p其中g和p定義為：gi=xiyi，p=xi+yi.

　　「答案」：A

　　（2005年）4.若采用雙符號位補碼運算，運算結果的符號位為01，則（　）。

　　A.產生了負溢出（下溢）　　　　　　　B.產生了正溢出（上溢）

　　C.結果正確，為正數 　　　　　　　　 D.結果正確，為負數

　　「分析」：采用雙符號位時，第一符號位表示最終結果的符號，第二符號位表示運算結果是否溢出。當第二位和第一位符號相同，則未溢出；不同，則溢出。若發生正溢出，則雙符號位為01，若發生負溢出，則雙符號位為10.

　　「答案」：B

　　可見溢出的判斷是重要考點，同學還要注意其他兩種判斷溢出的方法：

　　（1）兩正數相加結果為負或兩負數相加結果為正就說明產生了溢出

　　（2）最高位進位和次高位進位不同則發生了溢出

　　另外要注意快速進位加法器的進位生成信號g和進位傳播信號p其中g和p定義為：gi=xiyi ，p=xi+yi.第i位的進位： .

　　五、定點數的乘除法：

　　（2001年）請用補碼一位乘中的 Booth 算法計算 x？y=？x=0101，y=-0101，列出計算過程。

　　「分析」：補碼一位乘法中的Booth算法是一種對帶符號數進行乘法運算的十分有效的處理方法，采用相加和相減的操作計算補碼數據的乘積。做法是從最低位開始，比較相臨的數位，相等時不加不減，只進行右移位操作；不相等（01）時加乘數，不相等（10時）相減乘數，再右移位；直到所有位均處理完畢

　　「答案」：

　　x=0101，x補=0101， -x補=1011，y=-0101，y補=1011

　　循環 　　步驟 　　　乘積（R0 R1 P）

　　0 　　　 初始值 　　0000 1011 0

　　1 　　　 減0101　　 1011 1011 0

　　右移1位 　 1101 1101 1

　　2 　　　 無操作 　　1101 1101 1

　　右移1位　　1110 1110 1

　　3 　　　 加0101 　　0011 1110 1

　　右移1位 　 0001 1111 0

　　4 　　　 減0101 　　1100 1111 0

　　右移1位 　 1110 0111 1

　　所以結果為[x？y]補=11101111，真值為-00011001，十進制值為-25.

　　（2002年）已知x=0011， y=-0101，試用原碼一位乘法求xy=？請給出規范的運算步驟，求出乘積。

　　「分析」：原碼一位乘法中，符號位與數值位是分開進行計算的。運算結果的數值部分是乘數與被乘數數值位的乘積，符號是乘數與被乘數符號位的異或。原碼一位乘法的每一次循環的操作是最低位為1，加被乘數的絕對值后右移1位；最低位為0，加0后右移1位。幾位乘法就循環幾次。

　　「答案」：

　　x原=00011，y原=10101，|x|=0011， |y|=0101結果的符號位1 0=1

　　循環 　　　步驟 　　　　乘積（R0 R1）

　　0 　　　　 初始值 　　　0000 0101

　　1 　　　　 加0011　　　 0011 0101

　　右移1位　　　0001 1010

　　2 　　　　 加0　　　　　0001 1010

　　右移1位 　　 0000 1101

　　3 　　　　 加0011 　　　0011 1101

　　右移1位 　　 0001 1110

　　4 　　　　 加0 　　　　 0001 1110

　　右移1位 　　 0000 1111

　　所以結果為-00001111

　　（2003年）32.用 Booth 算法計算7×（-3）。要求寫出每一步運算過程及運算結果。

　　參考2001年考題

　　（2004年）32. 用原碼的乘法方法進行 0110×0101 的四位乘法。要求寫出每一步運算過程及運算結果。

　　參考2002年考題

　　（2005年）32.用原碼加減交替一位除法進行7÷2運算。要求寫出每一步運算過程及運算結果。

　　「分析」：是教材P46原題

　　「答案」：

　　7的原碼0111，3的原碼0011，結果符號是0 0=0

　　原碼加減交替除法求x/y的分步運算過程。

　　循環 　　步驟 　　　余數（R0 R1）

　　0 　　　 初始值 　　0000 0111

　　左移，商0　　　 0000 1110

　　1 　　　減0011 　　　1101 1110

　　加0011，商0　　 0000 1110（0）

　　左移1位 　　　　0001 1100

　　2 　　　減0011 　　　1110 1100

　　加0011，商0　 0001 1100（0）

　　左移1位 　　　　0011 1000

　　3 　　　減0011　　　 0000 1000

　　商1　　　 0000 1000（1）

　　左移1位 　0001 0001

　　4　 　　減0011　 1110 0001

　　加0011，商0 　0001 0001（0）

　　左移1位 　　　0010 0010

　　R0右移1位 0001 0010

　　所以，商是0010，即2；余數是0001，即1.

　　由上可見，定點數乘除法計算題每年必考（10分），同學除了掌握已經考過的三種題型外，還要特別注意原碼恢復余數除法的計算過程，教材P44頁例題：計算7/2.我們利用這種方法計算一下7/3.

　　（2000年）1.在原碼一位乘中，當乘數Yi為1時，（　）。

　　A.被乘數連同符號位與原部分積相加后，右移一位

　　B.被乘數絕對值與原部分積相加后，右移一位

　　C.被乘數連同符號位右移一位后，再與原部分積相加

　　D.被乘數絕對值右移一位后，再與原部分積相加

　　「分析」：原碼一位乘法中，符號位與數值位是分開進行計算的。運算結果的數值部分是乘數與被乘數數值位的乘積，符號是乘數與被乘數符號位的異或。數值位相乘時，當乘數某位為1時，將被乘數絕對值與原部分積相加后，右移一位。

　　「答案」：B

　　（2001年）7.原碼乘法是（　）。

　　A.先取操作數絕對值相乘，符號位單獨處理

　　B.用原碼表示操作數，然后直接相乘

　　C.被乘數用原碼表示，乘數取絕對值，然后相乘

　　D.乘數用原碼表示，被乘數取絕對值，然后相乘

　　「分析」：原碼一位乘法中，符號位與數值位是分開進行計算的。運算結果的數值部分是乘數與被乘數數值位的乘積，符號是乘數與被乘數符號位的異或。

　　「答案」：A

　　8.原碼加減交替除法又稱為不恢復余數法，因此（　）。

　　A.不存在恢復余數的操作

　　B.當某一步運算不夠減時，做恢復余數的操作

　　C.僅當最后一步余數為負時，做恢復余數的操作

　　D.當某一步余數為負時，做恢復余數的操作

　　「分析」：在用原碼加減交替法作除法運算時，商的符號位是由除數和被除數的符號位異或來決定的，商的數值是由除數、被除數的絕對值通過加減交替運算求得的。由于除數、被除數取的都是絕對值，那么最終的余數當然應是正數。如果最后一步余數為負，則應將該余數加上除數，將余數恢復為正數，稱為恢復余數。

　　「答案」：C

　　（2002年）5.原碼乘法是指（　）。

　　A.用原碼表示乘數與被乘數，直接相乘

　　B.取操作數絕對值相乘，符號位單獨處理

　　C.符號位連同絕對值一起相乘

　　D.取操作數絕對值相乘，乘積符號與乘數符號相同

　　答案：B

　　六、邏輯運算：

　　（2005年）5.已知一個8位寄存器的數值為11001010，將該寄存器小循環左移一位后，結果為（　）。

　　A.01100101　　　　　B.10010100　　　C.10010101　　　D.01100100

　　「分析」：

　　移位種類 運算規則

　　算術左移 每位左移一位，最右位移入0，最高位移出進入標志寄存器C位

　　算術右移 每位右移一位，最高位符號復制，最低位移出進入標志寄存器C位

　　邏輯左移 每位左移一位，最右位移入0，最高位移出進入標志寄存器C位

　　邏輯右移 每位右移一位，最右位移入0，最低位移出進入標志寄存器C位

　　小循環左移 每位左移一位，最高位進入最低位和標志寄存器C位

　　小循環右移 每位右移一位，最低位進入最高位和標志寄存器C位

　　大循環左移 每位左移一位，最高位進入標志寄存器C位，C位進入最低位

　　大循環右移 每位右移一位，最低位進入標志寄存器C位，C位進入最高位

　　「答案」：C

　　七、浮點數運算：

　　（2001）6.浮點加減中的對階的（　）。

　　A.將較小的一個階碼調整到與較大的一個階碼相同

　　B.將較大的一個階碼調整到與較小的一個階碼相同

　　C.將被加數的階碼調整到與加數的階碼相同

　　D.將加數的階碼調整到與被加數的階碼相同

　　「分析」：浮點加減法中的對階是向較大階碼對齊，即將較小的一個階碼調整到與較大的一個階碼相同。

　　「答案」：A

　　注意有關浮點數的運算

　　例：用浮點數運算步驟對56+5進行二進制運算，浮點數格式為1位符號位、5位階碼、10位尾碼，基數為2.

　　「答案」：

　　5610=1110002=0.111000×26　　510=1012=0.101×23

　　① 對階：0.101×23=0.000101×26

　　② 尾數相加：0.111000+0.000101＝0.111101

　　③ 規格化結果：0.111101×26

　　④ 舍入：數據己適合存儲，不必舍入

　　⑤ 檢查溢出：數據無溢出。

　　第二章一般不考簡答題