2018年自考公共課數論初步章節講義：同余
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2018年自考公共課數論初步章節講義：同余
Ø 第三章 同余
一、 主要內容
同余的定義、性質、剩余類和完全剩余系、歐拉函數、簡化剩余系、歐拉定理、費爾馬小定理、循環小數、特殊數2，3，4，5，6，7，8，9，11，13的整除規律
二、 基本要求
通過本章的學習，能夠掌握同余的定義和性質，區別符號：“三”和=”之間的差異。能利用同余的一些基本性質進行一些計算，深刻理解完全剩余系，簡化剩余系的定義、性質及構造。能判斷一組數是否構成模m的一個完全剩余系或一個簡化剩余系。能計算歐拉函數的值，掌握歐拉定理、費爾馬小定理的內容以及證明方法。能應用這二個定理證明有關的整除問題和求余數問題。能進行循環小數與分數的互化。
三、難點和重點
(1)同余的概念及基本性質
(2)完全剩余系和簡化剩余系的構造、判別
(3)歐拉函數計算、歐拉定理、費爾馬小定理的證明及應用
(4)循環小數與分數的互化
(5)特殊數的整除規律。
四、自學指導
同余理論是初等數論中最核心的內容之一，由同余定義可知，若a≡b(mod m)，則a和b被m除后有相同的余數。這里m為正整數，一般要求m大于1，稱為模，同余這一思想本質上是將整數按模m分類，然后討論每一個類中整數所具有的共性及不同類之間的差異。第一章中用帶余除法定理將整數分類解決一些問題的方法只不過是同余理論中的一個特殊例子。從同余的定理上看，同余和整除實際上是同一回事，故同余還有二個等價的定義：①用整除來定義即 m∣a-b 。②用等號來定義a=b+mt 。值得注意a和b關于m同余是個相對概念。即它是相對于模m來講，二個整數a和b關于一個整數模m同余。則對于另一個整數模m
，a和b未必會同余。
從定義上看，同余和整除是同一個事情，但引進了新的符號“三”后，無論從問題的敘述上，還是解決問題的方法上都有了顯著的變化，同時也帶來了一些新的知識和方法。在引進了同余的代數性質和自身性質后，同余符號“三”和等號“=”相比，在形式上有幾乎一致的性質，這便于我們記憶。事實上在所有等號成立的運算中，只有除法運算是個例外，即除法的消去律不成立。為此對于同余的除法運算我們有二種除法：
(i)模不改變的除法，若ak≡bk(mod m) ，(k,m)=1，則a≡b(mod m)
(ii)模改變的除法, 若ak≡bk(mod m) (k,m)=d,則a≡b
這一點讀者要特別注意。
完全剩余系和簡化剩余系是二個全新的概念，讀者只要搞清引成這些概念的過程。因為同余關系是一個等價關系，利用等價關系可以進行將全體整數進行分類，弄清來朧去脈，對于更深刻理解其本質是很有好處的。完全剩余系或簡化剩余系是一個以整數為元素的集合，在每個剩余類各取一個數組成的m個不同數的集合，故一組完全剩余系包含m個整數，由于二個不同的剩余類中的數關于m兩兩不同余，故可得判別一組數是否為模m的一個完全剩余系的條件有二條為
(1) 個數=m
(2) 關于m兩兩不同余
另外要能用已知完全剩余系構造新的完全剩余系。即有定理
設(a，m)=1，x為m的完全剩余系，則ax+b也是m的完全剩余系。
當
時，能由
的完全剩余系和
的完全剩余系，構造
完全剩余系。為討論簡化剩余系，需要引進歐拉函數φ(m)，歐拉函數φ(m)定義為不超過m且與m互素的正整數的個數，記為φ(m)，要掌握φ(m)的計算公式，了解它的性質。這些性質最主要的是當(a ,b)=1時，φ(ab) = φ(a) φ(b)，和
現在在剩余類中把與m互素的集合分出來，從中可在各個集合中任取一個數即可構造模m的一個簡化剩余系。另一方面，簡化剩余數也可從模m的一個完全剩余系中得到簡化剩余系，一組完全剩余系中與m互素的的數組成的φ(m)個不同數的集合稱為m簡化剩余系。同樣簡化剩余系也有一個判別條件。
判別一組整數是否為模m的簡化剩余系的條件為
(1) 個數=φ(m)
(2) 關于m兩兩不同余
(3) 每個數與m互素
關于m的簡化剩余系也能用已知完全剩余系構造新的簡化剩余系。
設(a，m)=1，x為m的簡化剩余系，則ax也是m的簡化剩余系。
當
時，能由
的簡化剩余系和
的簡化剩余系，構造
簡化剩余系。
歐拉定理、費爾馬小定理是同余理論非常重要的定理之一。要注意歐拉定理和費爾馬定理的條件和結論。
歐拉定理：設m為大于1的整數，(a，m)=1，則有
費爾馬小定理：若p是素數，則有
除此以外，歐拉定理的證明的思想是非常好的，在各個地方都有應用。就歐拉定理、費爾馬小定理來講，它在某些形如a
數的整除問題應用起來顯得非常方便。同余方法也是解決整除問題的方法之一。
另外同余方法在證明不定方程時也非常有用，即要掌握同余“三”和相等“=”的關系：相等必同余，同余未必相等，不同余肯定不相等。
對于特殊數的整除規律要求能掌握其一般定理的證明，并熟記一些特殊數的整除規律
1、 一個整數被2整除的充要條件是它的末位為偶數。
2、 一個整數被3整除的充要條件是它的各位數字之和能被3整除。
3、 一個整數被9整除的充要條件是它的各位數字之和能被9整除。
4、 一個整數被5整除的充要條件是它的末位為0或5。
5、 一個整數被4，25整除的充要條件是它的末二位能被4，25整除。
6、 一個整數被8，125整除的充要條件是它的末三位能被8，125整除。
7、 設
，則7或11或13整除a的充要條件是7或11或13整除
五、例子選講
例1：求3406的末二位數。
解：∵ (3，100)=1，∴3
≡1(mod 100)
(100)=
(22·52)=40, ∴ 340≡1(mol 100)
∴ 3406=(340)10·36≡(32)2·32≡-19×9≡-171≡29(mod 100)
∴ 末二位數為29。
例2：證明(a+b)p≡ap+bp(mod p)
證：由費爾馬小定理知對一切整數有：ap≡a(p)，bp≡b(P)，
由同余性質知有：ap+bp≡a+b(p)
又由費爾馬小定理有(a+b)p≡a+b (p)
(a+b)p≡ap+bp(p)
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