內插法的原理及詳細應用舉例

　　內插法又稱插值法。根據未知函數f(x)在某區間內若干點的函數值，作出在該若干點的函數值與f(x)值相等的特定函數來近似原函數f(x)，進而可用此特定函數算出該區間內其他各點的原函數f(x)的近似值，這種方法，稱為內插法。

　　一、概念

　　內插法，一般是指數學上的直線內插，利用等比關系，是用一組已知的未知函數的自變量的值和與它對應的函數值來求一種求未知函數其它值的近似計算方法，是一種未知函數，數值內插法逼近求法，天文學上和農歷計算中經常用的是白塞爾內插法，可參考《中國天文年歷》的附錄。另外還有其他非線性內插法：如二次拋物線法和三次拋物線法。因為是用別的線代替原線，所以存在誤差。可以根據計算結果比較誤差值，如果誤差在可以接受的范圍內，才可以用相應的曲線代替。一般查表法用直線內插法計算。

　　二、原理

　　數學內插法即“直線插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點，則點P(i,b)在上述兩點確定的直線上。而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點A、B之間，故稱“直線內插法”。

　　數學內插法說明點P反映的變量遵循直線AB反映的線性關系。

　　上述公式易得。A、B、P三點共線，則

　　(b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。

　　三、具體應用：在內含報酬率中的計算

　　內插法在內含報酬率的計算中應用較多。內含報酬率是使投資項目的凈現值等于零時的折現率，通過內含報酬率的計算，可以判斷該項目是否可行，如果計算出來的內含報酬率高于必要報酬率，內插法則方案可行;如果計算出來的內含報酬率小于必要報酬率，則方案不可行。一般情況下，內含報酬率的計算都會涉及到內插法的計算。不過一般要分成這樣兩種情況：

　　1.如果某一個投資項目是在投資起點一次投入，經營期內各年現金流量相等，而且是后付年金的情況下，可以先按照年金法確定出內含報酬率的估計值范圍，再利用內插法確定內含報酬率;

　　2.如果上述條件不能同時滿足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通過多次試誤求出內含報酬率的估值范圍，再采用內插法確定內含報酬率。

　　下面舉個簡單的例子進行說明：

　　某公司現有一投資方案，資料如下：

　　初始投資一次投入4000萬元，經營期三年，最低報酬率為10%，經營期現金凈流量有如下兩種情況：(1)每年的現金凈流量一致，都是1600萬元;(2)每年的現金凈流量不一致，第一年為1200萬元，第二年為1600萬元，第三年為2400萬元。

　　問在這兩種情況下，各自的內含報酬率并判斷兩方案是否可行。

　　詳細解析：

　　根據(1)的情況，知道投資額在初始點一次投入，且每年的現金流量相等，都等于1600萬元，所以應該直接按照年金法計算，則

　　NPV=1600×(P/A，I，3)-4000

　　由于內含報酬率是使投資項目凈現值等于零時的折現率，

　　所以　令NPV=0

　　則：1600×(P/A，I，3)-4000=0

　　(P/A，I，3)=4000÷1600=2.5

　　查年金現值系數表，確定2.5介于2.5313(對應的折現率i為9%)和2.4869(對應的折現率I為10%)，可見內含報酬率介于9%和10%之間，根據上述插值法的原理，可設內含報酬率為I,

　　則根據原公式：

　　(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1).

　　i2 =10%，i1=9%，則這里β表示系數，β2=2.4689，β1=2.5313，

　　而根據上面的計算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子：

　　(10%-9%)/(I-9%)=(2.4689-2.5313)/(2.5-2.5313)，解出I等于9.5%，因為企業的最低報酬率為10%，內含報酬率小于10%，所以該方案不可行。

　　根據(2)的情況，不能直接用年金法計算，而是要通過試誤來計算。 這種方法首先應設定一個折現率i1，再按該折現率將項目計算期的現金流量折為現值，計算出凈現值NPV1;如果NPV1>0，說明設定的折現率i1小于該項目的內含報酬率，此時應提高折現率為i2，并按i2重新計算該投資項目凈現值NPV2;如果NPV1<0，說明設定的折現率i1大于該項目的內含報酬率，此時應降低折現率為i2，并按i2重新將項目計算期的現金流量折算為現值，計算凈現值NPV2。

　　經過上述過程，如果此時NPV2與NPV1的計算結果相反，即出現凈現值一正一負的情況，試誤過程即告完成，因為零介于正負之間(能夠使投資項目凈現值等于零時的折現率才是財務內部收益率)，此時可以用插值法計算了;但如果此時NPV2與NPV1的計算結果符號相同，即沒有出現凈現值一正一負的情況，就繼續重復進行試誤工作，直至出現凈現值一正一負。本題目先假定內含報酬率為10%，則：

　　NPV1=1200×0.9091+1600×0.8264+2400×0.7513-4000=216.8萬

　　因為NPV1大于0，所以提高折現率再試，設I=12%, NPV2=1200×0.8929+1600×0.7972+2400×0.7118-4000=55.32萬

　　仍舊大于0，則提高折現率I=14%再試，NPV3=1200×0.8772 +16000×7695+2400×0.6750-4000=-96.19萬

　　現在NPV2 >0，而 NPV3<0(注意這里要選用離得最近的兩組數據)，所以按照內插法計算內含報酬率，設i2 =14%，i1=12%，則 β2=-96.19，β1=55.32，β=0根據

　　(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)

　　有這樣的方程式：(14%-12%)/(i-12%)=(-96.19-55.32)/(0-55.329)

　　解得I=12.73%，因為大于必要報酬率，所以該方案可以選擇。

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